مسألة 1: رسم مربع داخل مثلث

الحل:

نرسم مربعاً ضلعه ab نحو الأسفل ونرسم من c إلى الرأسين الآخرين للمربع خطين، يقطعان ab في d و e هما رأسا المربع المطلوب، ومنهما ننشىء عمودين يتقاطعان مع ضلعي المثلث الآخرين في f و g هما الرأسان الآخران.

البرهان:

من تشابه المثلثين cgd و cai نجد:

gd/ai=cd/ci

ومن تشابه المثلثين cde و cih نجد:

de/ih=cd/ci

من العلاقتين السابقتين نجد:

gd/ai=de/ih

وبما أن ai=ih فإن gd=de

بنفس الطريقة نجد ef=de

مما سبق نجد أن gf=de ويوازيه، لذلك فإن المضلع defg مربع لتساوي أضلاعه وتوازي كل ضلعين متقابلين ولأن فيه زاوية على الأقل قائمة.