مسألة 6: رسم مثلث متساوي الأضلاع على مستقيمين ونقطة

الحل:

نرسم من a عموداً على xy فيقطعه في d. (راجع الأساسيات)

نرسم مثلثاً aed متساوي الأضلاع أحد أضلاعه da بأن نفتح الفرجار بفتحة da ونركزه في a ونرسم قوساً، ثم نركزه في d ونرسم قوساً يتقاطع مع السابق في e.

نرسم عموداً على ea ماراً من e فيتقاطع مع yz في c

نفتح الفرجار بقيمة ac ونركزه في a ونرسم قوساً يتقاطع مع xy في b

المثلث المطلوب هو abc.

البرهان:

المثلثان aec و adb متطابقان لأن فيهما زاوية قائمة وضلعان متساويان وهما ad=ae و ab=ac.

أي الزاويتان التاليتان متساويتان: dab=eac

نطرح من كل منهما الزاوية eab فنجد أن bac=dae=60 فالمثلث abc متساوي الأضلاع لأنه متساوي الساقين وفيه زاوية 60.

بناءً على الحل السابق فإنه إذا كان ec يوازي yz فإنهما لن يتقاطعا والزاوية α عندها تساوي 120 درجة، أي تساوي الزاوية بين ec و xy

ملاحظة: هناك حلان للمسألة في الحالة العامة، الحل الأول كما تم رسمه، والثاني عندما تكون e في الجهة المقابلة بالنسبة ل da ولهذا الحل زاوية أخرى α لا تحقق المطلوب.